Піфагорава тройка

Тэарэма Піфагора: a² + b² = c²

Т.зв. егіпецкі трохвугольнік,
найпрасцейшы піфагораў трохвугольнік:
3² + 4² = 5².

Піфагорава тройка — упарадкаваная тройка натуральных лікаў a, b і c, такіх што

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Такія тройкі звычайна запісваюць як (a, b, c), напрыклад, (3, 4, 5). Калі (a, b, c) — піфагорава тройка, тады (ka, kb, kc) — таксама піфагорава для любога натуральнага k.

Нескарачальная піфагорава тройка — піфагорава тройка, у якой a, b і c узаемна простыя.

Трохвугольнік, стораны якога утвараюць піфагораву тройку, называецца піфагоравым трохвугольнікам.

Назва паходзіць ад тэарэмы Піфагора, якая сцвярджае, што ў прамавугольным трохвугольніку даўжыні старон звязаны ўраўненнем

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

Больш таго, справядліва і адваротнае сцвярджэнне: калі даўжыні старон некаторага трохвугольніка задавальняюць гэта ўраўненне, то ён прамавугольны. Таму піфагоравы тройкі адпавядаюць прамавугольным трохвугольнікам з цэлымі даўжынямі старон (даўжыні ўсіх трох старон адначасова павінны быць цэлымі лікамі). Варта заўважыць, што не любы прамавугольны трохвугольнік з'яўляецца піфагоравым. Напрыклад, трохвугольнік са старанамі (1, 1, √2) не піфагораў, бо лік √2 не цэлы (больш таго, ён ірацыянальны).

Прыклады

Кропкавая дыяграма, на якой адзначаны кропкі з каардынатамі (a,b) піфагоравых троек, для якіх c меншы за 6000. Адмоўныя значэнні ўключаны ў дыяграму дзеля большай нагляднасці.

Тут прыведзены 16 нескарачальных піфагоравых троек з c ≤ 100:

( 3, 4, 5 )	( 5, 12, 13)	( 8, 15, 17)	( 7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	( 9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Заўважым, што, напрыклад, піфагорава тройка (6, 8, 10) скарачальная, бо яна кратна тройцы (3, 4, 5). Скарачальныя тройка лёгка атрымаць з нескарачальных дамнажэннем на натуральны лік.

А тут пералічаны нескарачальныя піфагоравы тройкі з 100 < c ≤ 300:

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Формулы для троек

Нескарачальныя піфагоравы тройкі. Няцотны катэт a адкладваецца па гарызантальнай восі, цотны катэт b — па вертыкальнай. Крывалінейная сетка ўтворана крывымі, на якіх адна з двух велічынь m - n і m + n мае пастаяннае значэнне. Параметры m і n тыя ж, што ў формуле Еўкліда.

Тройкі, атрыманыя па формуле Еўкліда, ляжаць на конусе z² = x² + y². Пастаянным значэнням m ці n адпавядаюць часткі парабал на конусе.

Еўклідава формула — асноўная формула для вылічэння піфагоравых троек па двум дадатным цэлым параметрам m і n, дзе m > n.

Лікі a, b і c, вылічаныя па Еўклідавай формуле $a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2},$ утвараюць піфагораву тройку.

Тройка, знойдзеная па Еўклідавай формуле, нескарачальная тады і толькі тады, калі m і n узаемна простыя і лік m − n няцотны. Калі ж і m, і n абодва няцотныя, тады a, b і c будуць цотнымі, і ў выніку тройка будзе скарачальная; тым не менш дзяленне a, b і c на 2 ў выпадку ўзаемна простых m і n дае нескарачальную тройку.